Introdução às equações de diferenças e aplicações

Abstract

This work presents a comprehensive introduction to difference equations and stability theory, exploring everything from mathematical foundations to applications in contemporary scenarios. The research begins with the exposition of finite difference calculus, defining difference (∆) and shift (E) operators and the importance of discretizing continuous models for computational purposes. The study delves into the resolution of first-order and higher-order linear equations, using tools such as the Casoratian and the Schur-Cohn criterion to determine the stability of solutions. In the applied phase, the work demonstrates the utility of these equations in numerical methods (Newton-Raphson and Euler) and in socio-economic analyses relevant to the Brazilian reality, such as the mathematical proof of the inevitability of player ruin in betting platforms (“Fortune Tiger”) and the modeling of National Income (GDP) through Samuelson’s model. The results reinforce the capacity of difference equations to predict complex behaviors and diagnose trajectories of discrete dynamic systems.

Este trabajo presenta una introducción integral a las ecuaciones de diferencias y a la teoría de estabilidad, explorando desde los fundamentos matemáticos hasta sus aplicaciones en escenarios contemporáneos. La investigación comienza con la exposición del cálculo de diferencias finitas, definiendo los operadores de diferencia (∆) y de desplazamiento (E), así como la importancia de discretizar modelos continuos con fines computacionales. El estudio profundiza en la resolución de ecuaciones lineales de primer orden y de orden superior, utilizando herramientas como el Casoraciano y el criterio de Schur-Cohn para determinar la estabilidad de las soluciones. En la fase aplicada, el trabajo demuestra la utilidad de estas ecuaciones en métodos numéricos (Newton-Raphson y Euler) y en análisis socioeconómicos relevantes para la realidad brasileña, tales como la demostración matemática de la inevitabilidad de la ruina del jugador en plataformas de apuestas (“Fortune Tiger”) y la modelación del Ingreso Nacional (PIB) a través del modelo de Samuelson. Los resultados refuerzan la capacidad de las ecuaciones de diferencias para predecir comportamientos complejos y diagnosticar trayectorias de sistemas dinámicos discretos.