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Document Type: Dissertação
Title: Restrição de Fourier em conjuntos de Salem
Authors: Melo, Thiago Guimarães
Issue Date: 12-May-2021
Advisor: Almeida, Marcelo Fernandes de
Resumo : Neste trabalho, mostramos como a s−energia Is(µ) de uma medida de Borel µ com suporte compacto se relaciona com a dimensão de Hausdorff de supp(µ). Por meio da transformada de Fourier distribucional do Núcleo de Riesz, relacionamos Is(µ) com µ^. Com isto, mostramos que dimensão de Hausdorff e transformada de Fourier de medidas são conceitos intimamente ligados, o que é traduzido na dimensão de Fourier. Para a construção de exemplos, fizemos um estudo de medidas de superfícies. Mais precisamente, utilizamos convergência fraca de medidas para calcular a transformada de Fourier da medida de superfície na esfera. Além disso, utilizamos o comportamento assintótico das funções de Bessel para mostrar que tal tem um decaimento rápido. Mais geralmente, estudamos integrais oscilatórias e aplicamos os resultados para obter o decaimento da transformada de Fourier da medida intrínseca a uma superfície regular compacta com um número l de curvaturas principais não nulas. Além disso, usamos o conceito de dimensão de Hausdorff para mostrar que o decaimento de tal medida é ótimo. Abordamos a conjectura da restrição na esfera e usamos o Exemplo de Knapp para chegar ao range necessário. Tratamos do Teorema de Stein-Tomas e obtivemos o mesmo como consequência do Teorema de Littman. Usamos as técnicas de Carleson-Sjölin para exibir a prova da conjectura da restrição no plano. Finalizamos esta dissertação apresentando o Teorema de Mockenhaupt-Mitsis, o qual generaliza o Teorema de Stein-Tomas, sem o end-point. Além disso, apresentamos algumas consequências do mesmo observadas por Mitsis. Brevemente versamos sobre a construção de uma medida suportada num conjunto de Salem, a qual satisfaz as hipóteses do Teorema de Mockenhaupt-Mitsis.
Abstract: In this work, we show how the s−energy Is(µ) of a Borel measure µ compactly supported is related to the Hausdorff dimension of supp(µ). Using the distributional Fourier transform of the Riesz kernel, we relate Is(µ) to µ^. In this way, we show that Hausdorff dimension and Fourier transforms of measures are closely linked concepts, which is translated into the Fourier dimension. For the construction of examples, we made a study of surface measures. More precisely, we use weak convergence of measures to calculate the Fourier transform of the surface measure in the sphere. In addition, we use the asymptotic behavior of Bessel’s functions to show that it has a rapid decay. More generally, we study oscillatory integrals and apply the results to obtain the decay of the Fourier transform of the intrinsec measure of a compact regular surface with l non-zero principal curvatures. In addition, we use Hausdorff dimension concept to show that the decay of such a measure is optimal. We approach the restriction conjecture in the sphere and use the Knapp Example to get required range. We have dealt with the Stein-Tomas Theorem and obtained it as a consequence of the Littman Theorem. We use the techniques of Carleson-Sjölin to exhibit the proof of the restriction conjecture in the plane. We finish this dissertation by presenting the Mockenhaupt-Mitsis Theorem, which generalizes the Stein-Tomas Theorem, without the end-point. In addition, we present some consequences of the same observed by Mitsis. We briefly deal with the construction of a measure supported on a Salem set, which satisfies the hypotheses of the Mockenhaupt-Mitsis Theorem.
Keywords: Matemática
Transformadas de Fourier
Sequências (matemática)
Restrição de Fourier
Dimensão de Hausdorff
S-energia de medidas
Dimensão de Fourier
Conjuntos de Salem
Fourier restriction
Hausdorff dimension
S-energy of measures
Fourier dimension
Salem sets
Subject CNPQ: CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
Sponsorship: Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES
Language: por
Institution: Universidade Federal de Sergipe
Program Affiliation: Pós-Graduação em Matemática
Citation: MELO, Thiago Guimarães. Restrição de Fourier em conjuntos de Salem. 2021. 277 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2021.
URI: http://ri.ufs.br/jspui/handle/riufs/17457
Appears in Collections:Mestrado em Matemática

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